Математическая реальность

Я не собираюсь сказать тут что-то новое. Но хорошо забытое старое может стать сюрпризом в нынешнюю эпоху, когда псевдонаучные и антинаучные направления получили полную свободу и пошли в повсеместное наступление, когда рядовым гражданам вполне достаточно сказок и текущих новостей, за которыми серьезная наука затерялась где-то в труднодоступных и малопонятных справочниках.

На сайте и в других местах рассказывают о математике черт знает что. И некому возразить, поскольку даже школьные знания давно выветрились из головы или вовсе там не ночевали.

Дошло до того, что отвергаются отрицательные числа ввиду отсутствия в реальности "отрицательного наличия". Это прокатило бы две тысячи лет назад, но ныне так же смехотворно, как герой А.П.Чехова в "Свадьбе", который называет электрическое освещение жульничеством.

В серьезной литературе нет понятия "математическая реальность". По-видимому, в нем не было большой надобности, так как не составляло большого труда отделить математические объекты ото всех прочих. Лишь ныне в Интернете есть:

"математическая реальность - это совокупность математических форм разных видов".

В советскую эпоху всякие иные реальности считались крамолой. Но сегодня уже ничто не навредит диалектическому материализму больше, чем он сам, когда связался с научным коммунизмом. Я уж не говорю о том, что, якобы, передовая теория прозевала, а то и преследовала генетику, кибернетику, создание ЭВМ, операционных систем и программного обеспечения, затем создание искусственного разума.

Так что нынче "математическая реальность" никому не повредит. Тем более, что всяких реальностей развелось немало, вплоть до личных, и необходимо чтобы математика среди них заняла достойное место.

Так, еще в 1935 г. А.Эйнштейн ввел понятие "физическая реальность". А для введения математической реальности гораздо больше оснований.

Приведенное выше определение через "совокупность математических форм" явно создавалось современными неумехами. Наверняка, у них вышло бы, что математика - это наука о математических формах, биология - о биологических, астрономия - об астрономических и т.д., в общем, сплошная тавтология.

По-моему, лучше так:

математическая реальность - это система понятий, исчерпывающе определенных аксиомами.

Здесь подчеркивается принципиальное отличие математической реальности: идеальные предельно строго определенные объекты. В математике всё абсолютно, а вне ее всё относительно. Также подчеркнуто, это мир понятий, абстракций, а не какое-нибудь осязаемое пространство, в которое реальные предметы могут нырнуть через некий портал.

Абстракции давно не новость. Таковы инфляция, патриотизм, эволюция, революция. Их не пощупать рукам. Есть лишь конкретные события, которые в разной степени относят, например, к эволюции. Тот же уровень признавали ранее за математическими абстракциями. Но очевидно, что последние гораздо определеннее и вполне заслуживают особого места, хотя и остаются абстракциями.

В древности мыслили радикальнее. Пифагор (VI-V вв. до н.э.) считал, что числа и геометрические фигуры существуют в готовом виде во внешней реальности. Более того, пифагорейцы были уверены, что числа - это суть вещей, и вещи состоят из чисел.

Еще более революционны взгляды Платона (427-347 гг. до н.э.), согласно которым реален только вечный мир идей, а всё наблюдаемое нами - лишь бледные его тени. Впрочем, коммунисты решительно отмежевались от такой революции. Сегодняшняя наука отвергает платоновский размах, хотя философская полемика на этот счет - до сих пор предмет изучения. Так что ограничимся устоявшейся научной позицией.

Итак, у математиков своя песочница, мало похожая на другие. С другой стороны, математические термины часто совпадают с названиями обычных предметов: точка, прямая, плоскость, шар, куб и т.д. Из-за этого совпадения дилетанты нередко отвергают математическую точку, а далее линию и по списку, поскольку на практике точки в чистом виде не водятся. Да они и не должны водиться. По идее надо было сразу дать разные названия. Но так сложилось исторически, и нововведения сегодня только всех запутают.

Так же знак равенства используется не только в математике, а слово "равно" широко употребляется в самой разной литературе, хотя в натуре не бывает абсолютно одинаковых предметов. Например, принято считать, что все килограммовые гири одинаковы по весу. Введение какого-нибудь дополнительного знака сходства безнадежно запутало бы население, и мало кто понимал бы, где какой знак ставить.

В свое время аксиоматический подход в школьной геометрии сделал эту науку как для учащихся, так и для учителей менее понятной, чем теория относительности. Так что всё хорошо в меру.

Разумеется, математика родилась из практических нужд. Поныне непрестанно разрабатываются новые алгоритмы и модели, которых требует жизнь. Однако, математика не была бы математикой, если не преследовала прежде всего свои собственные цели. Важнейшая из них: непротиворечивость. Малейшая ошибка в доказательстве какой-нибудь теоремы - и теорему в корзину.

Всякая полуправда, переполняющая многие науки, в математике не допустима.

В непротиворечивости сила математики. Ее выводы всегда железны. Если же практика сказала фигвам, значит, была использована модель, не охватывающая все нужные факторы.

Значит, надо искать другие методы. При этом оскандалившаяся модель остается в строю, как и вся математика. Для сравнения, топор не применяют в микрохирургии глаза, но он весьма полезен на многих работах. Зато скальпель малополезен на лесоповале.

Именно соображения непротиворечивости вынудили математиков вводить всё новые и новые объекты, которым в реальности явно ничего не соответствует. Например, иррациональные и мнимые числа, бесконечные множества. Как ни странно, но именно практика потребовала создания моделей, в которых не обойтись без бесконечномерных пространств, кватернионов и несметного количества другой экзотики.

Кроме того, любимое занятие - искать математические объекты, близкие к уже известным в надежде, что они помогут создавать более эффективные модели и алгоритмы. Так до невообразимых размеров разрослась алгебра. Всё, где попадаются более или менее складные операции, - досконально изучается и вылизывается, дабы чего-нибудь не проморгать. Поэтому еще важное занятие: доказывать неулучшаемость найденных алгоритмов. А если не удалось доказать, значит, ищите до потери пульса.

Получение неулучшаемых алгоритмов показывает, что точно такие же методы могут быть у внеземных цивилизаций, и, вообще, что математика - это не местная достопримечательность, а законы всего наблюдаемого мира. Так что не случайно еще в древности математике придавали особую роль, чуть ли не сказочную. Не случайно математика привлекает своей непреходящестью, тогда как другие науки сильно привязаны к местным условиям.

Никакой иной таблицы сложения у инопланетян быть не может, поскольку она не чья-либо прихоть, пусть даже Господа, а отражение закона сохранения энергии. При иных правилах Вселенная немедленно схлопнулась бы или, наоборот, от избытка энергии порушила в себе всё. Может, такое и бывало, но не попало нам в поле зрения, поскольку мы можем наблюдать только устойчивые объекты и процессы.

Для вечной таблицы сложения надо понимать, что она работает с идельными понятиями и непогрешима лишь в математической реальности. Тупое ее применение на практике ведет к ошибкам. Например, если на 1-й остановке в автобус вошли 10 человек, на 2-й еще 10, а в итоге в автобусе оказалось 15 пассажиров, то не стоит трубить об ошибочности таблицы сложения. Просто 5 человек могли выйти на 2-й остановке.

На практике таблица сложения применима к различимым и относительно неизменным объектам. А если эти объекты плодятся или исчезают в процессе подсчета, то надо применять другие методы.

Таким образом, можно не сомневаться, что даже в совсем иных вселенных львиная доля математики будет той же, что у нас. Обязательно будут целые числа с той же таблицей сложения, затем дробные, иррациональные и т.д. Иного пути для непротиворечивости, как доказано, нет. Вот и приходится вводить чисто теоретические объекты ради собственных нужд математической реальности.

В конечном итоге такой подход полностью оправдался. С помощью математики создано ВСЁ от египетских пирамид до космических кораблей. Без нее мы до сих пор сидели бы в пещерах.

В заключение уместно напомнить о математической логике, о которой среди рядовых граждан мало кто вообще слышал, потому что она преподается на математических факультетах и непроста для понимания. Главное, что логика есть! Причем такая же вечная и непогрешимая, как таблица сложения. Правда, предназначена она для математической реальности.

В математических построениях логика помогает тщательно следить, чтобы ни одна собака не проскочила в какую-нибудь лазейку, чтобы в принципе не могло быть ни одного опровергающего примера. Только тогда выводы станут надежными и вечными.

В обычной жизни люди интуитивно используют некоторые логические правила. Например, не должно быть рядом взаимоисключающих утверждений.

Увы, в большинстве областей эта великолепная логика часто оказывается столь же бесполезной, как упомянутый скальпель на лесоповале.

При отсутствии четких понятий и строгих аксиом самое горячее стремление к точности в лучшем случае ведет к полуправде.

Тем не менее, по любому тексту обычно сразу видно, имеет ли автор понятие о точности. Ныне Интернет переполнен словесными излияниями, как из рога изобилия, где каждая фраза валит с ног и вызывает у подкованного человека миллион недоуменных вопросов, на которые автор явно никогда не ответит, разве что еще большим абсурдом. Проколы, лазейки для собак идут сплошным потоком. И ведь находятся ценители, которые восторгаются сочетаниями даже совершенно случайных слов, звуков, образов.