В XIX веке бесконечно малые числа были решительно изгнаны из математики из-за многовековых несбывшихся надежд дать этим числам надежное обоснование. Зато получили обоснование те действительные числа, которые ныне преподаются в школе. Они представлены хорошо всем известными десятичными дробями. Например: 3.1415926536. Среди таких дробей никаких бесконечно малых чисел нет.
Десятичные дроби известны давно. Они встречаются в Китае с III века н.э. Есть несколько претендентов на изобретение десятичных дробей. В Европе первые десятичные дроби ввел математик и астроном Иммануил Бонфис около 1350 г., но широкое распространение они получили только с конца XVI века.
Действительные числа долго были туманны, но только в конце XIX века немецкий математик К.Вейерштрасс (1815-1897) наконец-то надежно связал эти числа с десятичными дробями. Правда, с некоторым уточнением: с бесконечными десятичными дробями. Их вполне достаточно, чтобы задавать любые точки на прямой линии, получающиеся путем геометрических построений.
И еще мелкая деталь: бесконечных десятичных дробей оказалось даже чуть больше, чем надо. Например, дробь 0.9999... - лишняя, так как есть 1.0000... Но нетрудно договориться, чтобы дроби с девяткой в периоде не рассматривать.
Были и другие эквивалентные определения действительных чисел, которые дали Ю.Дедекинд (1831-1916) и Г.Кантор (1845-1918).
Однако, бесконечно малые числа отсутствовали не всегда. И.Ньютон (1642-1727) и Г.В.Лейбниц (1646-1716), основатели высшей математики, вовсю оперировали бесконечно малыми числами. И у них нашлись предшественники: Б.Кавальери (1598-1647) и даже великий Архимед (287-212 до н.э.). Математика того времени была в значительной мере искусством. Кто-то интуитивно чувствовал, где в расчетах можно и где нельзя пренебречь бесконечно малыми числами, а кто-то не чувствовал и гнал брак.
Эти чувства до сих пор нередко выпирают у физиков и технарей, не привыкших к математической строгости и даже в учебниках пишущих о бесконечно малых числах, как во времена И.Ньютона. Уж очень навязчиво это словосочетание "бесконечно малые числа". Раз где-то услышав его, студенты не к месту пытаются его ввернуть. Преподаватели всякий раз назидательно командным голосом поправляют: "Нет бесконечно малых чисел!"
Впрочем, преподаватели не совсем правы. В 1961 г. совершенно неожиданно американский математик А.Робинсон (1918-1974) вполне корректно возродил из пепла пресловутые бесконечно малые числа в так называемом нестандартном анализе.
Правда, даже из математиков мало кто знает об этом открытии, и вообще в нем черт ногу сломит. Во всяком случае, оно неперевариваемо для неподготовленного читателя. Наверное, поэтому революции в преподавании не произошло. Нестандартный анализ так и остался нестандартным, никакого всеобщего стандарта для населения из него не получилось.
В 5-томной математической энциклопедии, издававшейся с 1977 г. по 1985 г., уже упомянут нестандартный анализ довольно краткой статьей, но во всех других статьях на него нет и намека. Так, понятие дифференциала dy , где как раз самое место бесконечно малым числам, изложено весьма неуклюже в обычных современных традициях. Однако, не так-то просто искоренить еще более давние традиции. Под знаком интеграла дифференциал dx выглядит как сомножитель, и оперируют с ним, как с сомножителем. Да и сам знак интеграла - это стилизованный символ суммы, вечный памятник некогда господствовавшим бесконечным суммам бесконечно малых величин.
Чтобы снова внедрить бесконечно малые числа и не пугать школьников, надо эти числа еще доступно подать в съедобном виде. А в нынешней литературе по бесконечно малым числам съедобностью даже не пахнет.
В нестандартном анализе в качестве частного случая все равно фигурируют обычные действительные числа. Они словно первый этаж здания. Здание может иметь свои полезные свойства, не присущие одному этажу, но в целом оно никак не может быть проще одного этажа. Так что как бы ни подавать новые числа, они все равно проще не станут, и нам никуда не деться от привычной нынешней модели.
А главное, зачем переделывать учебники, когда имеющихся действительных чисел более чем достаточно? Это как с идеей десятичного измерения времени.
Да, можно сделать часы и календарь более рациональными, но выгода не велика, а всеобщая путаница на многие годы гарантирована. Всё! Поезд ушел.
Так же обоснование бесконечно малых чисел запоздало, и нет смысла перестраивать под него физические теории и технические расчеты.
Сегодня под словами "действительные числа" всегда подразумевают только одну модель. Причем она столь хороша, что не замечено отличие числовой прямой от реальности. Поэтому по умолчанию действительные числа просто отождествляют с реальностью. И если даже очень образованного человека спросить о других моделях, то он, скорее всего, выпучит глаза.
Есть гипотеза, что мировое пространство дискретно. Может быть, понадобятся модели, где придется изгнать иррациональные числа. Есть гипотезы, что реальное пространство имеет гораздо большую размерность. На все это можно, но не нужно заранее плодить кучи моделей.
Тем не менее, хотя бы философам и всем любознательным гражданам не лишне понимать, что безраздельно господствующая ныне модель действительных чисел - далеко не единственно возможная. Нынешнее понятие действительного числа превратилось в догму. А у догм есть неприятное свойство давать сбои в самый неподходящий момент, и оказывается, что никто не в курсе, как отойти от застарелой оскандалившейся догмы.
Поэтому я приведу несложный пример. Он показывает, за что в принципе можно зацепиться, дабы отойти от навязшей повсюду официальной модели. Представим каждое новое число парой десятичных дробей. Например: (3.14, 2.71828). Первая дробь здесь - стандартная часть, а вторая - бесконечно малая. Обычному числу x будет соответствовать (x,0).
Арифметические операции производятся по естественным правилам:
(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d),
(a,b) - (c,d) = (a-c, b-d),
(a,b) * (c,d) = (ac, ad+bc),
(a,b) / (c,d) = (a/c, b/c) (c не 0),
(0,b) / (0,d) = (b/d, 0) (d не 0).
Представлять такие числа (x,y) удобно в виде точек на плоскости, где стандартной части соответствует абсцисса x, а бесконечно малой - ордината y.
Вот пример извлечения квадратного корня из числа (1,1): получится (1,0.5).
Попробуем рассчитать производную обычной функции x^2 (икс в квадрате). В новой модели она будет записана как (x,0)^2. Всего-то надо поделить приращение функции на бесконечно малое приращение аргумента:
[(x,b)^2 - (x,0)^2]/(0,b) =
= [(x^2,2xb) - (x^2,0)]/(0,b) =
= (0,2xb)/(0,b) = (2x,0)
Т.е. 2x, как и должно было оказаться в обычной модели.
Таким образом, выйдя в более широкое пространство чисел, можно обосновать правило исходного пространства. При этом не использовалось понятие предела, которое математики не могли соорудить вплоть до XIX века. А фактически используются те построения, которые делал еще И.Ньютон.
А вот как быстро и приятно доказать непрерывность функции x^3. Бесконечно малому приращению (0,b) аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции:
(x,b)^3 - (x,0)^3 = (x^3,3xb) - (x^3,0) = (0,3xb).
Вот и всё!
Вместе с тем, надо отличать удобства для специалистов и удобства для рядовых граждан, многие из которых как огня боятся математики. Поэтому важно иметь азы, понятные населению и удобные для всевозможных измерений. Таковыми сейчас являются только обычные действительные числа.
Но, как уже отмечалось, всем любознательным и энтузиастам полезно знать, что есть другие подходы. Здесь показана только одна зацепка. А далее понятно, что аналогично можно рассматривать три составляющих в числе вида (a,b,c) и даже бесконечное их количество. (Правда, в нестандартном анализе до бесконечного количества не доводят и обходятся дробями от деления многочлена на многочлен). А какие варианты будут востребованы в будущем, или какие еще понадобятся зацепки, или всё останется как прежде, - время покажет.
Авторская публикация. Свидетельство о публикации в СМИ № J108-49141.
Обсуждения Бесконечно малые числа
Вы очень прозорливы!
Без шуток - статья глубоко математическая и аналитическая.