Здесь рассказано о продолжении тяжбы Протагора с Эватлом, а также приведены другие поучительные примеры.
По преданию судья решил спор в пользу Эватла, но тут же порекомендовал Протагору подать новый аналогичный иск, где все аргументы были бы на стороне Протагора, поскольку Эватл, выигравший первую тяжбу, теперь обязан платить согласно уговору.
Я не буду приводить пространный анализ парадокса из Википедии, так как он валит с ног заявлением: "В действительности все достаточно просто". Но желающие могут ознакомиться.
Чтобы не брать на себя роль судьи над всеми, приведу далее заключение профессионала в логике А.А.Ивина, с которым полностью согласен. В его книге "Логика" сказано следующее. Судебный случай с Протагором привел к массе исследований парадокса на протяжении тысячелетий, начиная с трактата самого Протагора. Г.Лейбниц, сам юрист по образованию, также отнесся к этому спору всерьез. В своей докторской диссертации "Исследование о запутанных казусах в праве" он пытался доказать, что все случаи, даже самые запутанные, подобно тяжбе Протагора и Эватла, должны находить правильное разрешение на основе здравого смысла. По мысли Лейбница, суд должен отказать Протагору за несвоевременность предъявления иска...
Другие мыслители ссылались, в частности, на то, что решение суда должно иметь большую силу, чем частная договоренность двух лиц. На это можно ответить, что не будь этой договоренности, какой бы незначительной она ни казалась, не было бы ни суда, ни его решения. Ведь суд должен вынести свое решение по ее поводу и на ее основе.
Обращались также к общему принципу, что всякий труд, а значит, и труд Протагора, должен быть оплачен. Но Протагор, гарантируя высокий уровень обучения, сам отказывался принимать оплату в случае неудачи своего ученика в первом процессе.
Еще Лейбниц предлагает задним числом заменить формулировку договора и оговорить, что первым с участием Эватла судебным процессом, исход которого решит вопрос об оплате, не должен быть суд по иску Протагора.
Однако, ни здравый смысл, ни какие-то общие принципы, касающиеся социальных отношений, не способны разрешить спор. Договор, несмотря на его невинный внешний вид, внутренне противоречив. Он требует реализации логически невозможного положения: Эватл должен одновременно и уплатить за обучение, и вместе с тем не платить.
Итак, заключение А.А.Ивина и мое таково, что парадокс не может иметь решения, поскольку договор Протагора с Эватлом противоречив.
Немецкий математик Д.Гильберт (1862-1943), поставивший в свое время знаменитые "проблемы Гильберта", так отозвался о парадоксах: "...Состояние, в котором мы находимся сейчас в отношении парадоксов, на продолжительное время невыносимо. Подумайте: в математике - этом образце достоверности и истинности - образование понятий и ход умозаключений, как их всякий изучает, преподает и применяет, приводит к нелепости. Где же искать надежность и истинность, если даже само математическое мышление дает осечку?"
Наперекор Гильберту состояние все-таки оказалось выносимо, хоть дело не сдвинулось до сих пор. Однако, парадоксы, так сказать, локализованы. Они тлеют, но большой пожар зданию математики и всей науки не грозит.
Просто всем исследователям надо не забывать о неточности слов и рассуждений, приводить побольше аргументов и разъяснений. В этом плане не выигрывают философские трактаты, где сплошным потоком изрекаются божественные истины без всякой аргументации и связи с достижениями предшественников. Возможно, это и вправду прозрение свыше. Но таких прозрений за историю накопилось слишком много, и трудно разобраться, какие из них не есть плод воображения.
Принять ложь за истину совсем нетрудно. Приведу пару рассуждений из книги Д.Гусева "Краткий курс логики: Искусство правильного мышления".
Все планеты движутся, Юпитер - это планета, значит, Юпитер движется.
Движение вечно, хождение в школу - это движение, значит, хождение в школу вечно.
Все это могло бы показаться смешно, если бы не было так грустно. Выводы, аналогичные бесконечному хождению в школу, переполняют философскую да и всю научную литературу. Только абсурдность обоснования не сразу бросается в глаза, поскольку рассуждения подгоняют под придуманный заранее вывод, весьма похожий на правду. Так "доказывают" полуправду-полуложь, объявляя ее в итоге истиной.
Чтобы не заканчивать беспросветностью, приведу далее несколько примеров торжества логики в простых логических задачах. Если читатель не склонен к решению задач, то остальное можно не читать. Успехи в решении задач - это не показатель ума, интеллекта или чего-то подобного. Все тесты на эту тему однобоки. Однако ж, если мыслитель не тянет ни по одному показателю, то это тоже весьма показательно.
Две одинаковые бочки поровну наполнены одна водой, другая - спиртом. Ковшом перелили литр воды из первой бочки во вторую. Затем, перемешав содержимое второй бочки, литр смеси перелили обратно в первую. Спрашивается, чего больше содержание: спирта в первой бочке (где раньше была только вода), или воды во второй бочке (где раньше был только спирт)?
Обычно отвечают, что во второй бочке больше, потому что в первую возвращали не чистый спирт, а уже его смесь с водой. Однако, на самом деле это не так. В обоих бочках процент примеси одинаков. Даже при сотне подобных переливаний итог будет один: сколько из первой бочки ушло воды, ровно столько же пришло спирта.
На шахматную доску требуется уложить 31 кость домино (каждая кость занимает ровно две клетки доски) так, чтобы остались свободными только две угловые клетки доски на противоположных концах диагонали.
И что тут сложного? - удивляются зрители, - не стоит даже возиться.
Однако, кто решил повозиться, хоть и нескоро убеждается, что сделать это невозможно. Фокус в том, что указанные две угловые клетки доски будут одного цвета, а каждая кость всегда закрывает одну белую и одну черную клетку.
В центре круглого озерка находится собака, а по берегу бегает ее хозяин, который хочет поймать свою собаку, причем его скорость в 4 раза больше, чем плавает собака. Зато на суше собака бегает быстрее. Сможет ли хозяин поймать собаку?
Если собака просто поплывет к берегу в сторону, противоположную от той, где стоит хозяин, то, конечно, хозяин окажется у цели раньше. У него хоть и длиннее путь в три с лишним раза (это число пи), но его 4-кратное превосходство в скорости решает дело. Однако, умная собака поступит по-другому и сбежит от хозяина. Как? Никаких знаний для решения не требуется, только здравый смысл.
Заблудившийся в лесу грибник знает, однако, что отошел от просеки ровно на 1 км. Какова оптимальная стратегия выхода к просеке? Точное решение требует расчетов, хоть и элементарных. Но качественная картина - это удел исключительно здравого смысла.
Канал единичной ширины поворачивает под прямым углом. Ясно, что квадратный плот со стороной единица прекрасно пройдет поворот. Такой плот кажется максимально возможным из проходящих по каналу, поскольку проходит впритык. Но это не так. Есть гораздо большие цельные жесткие плоты, которым по силам то же самое. Наибольший плот имеет площадь в два с лишним раза больше упомянутого, и рассчитать его не просто. Но найти хотя бы один плот с площадью больше единицы нетрудно, идея такого плота не требует расчетов.
И еще. Изменится ли уровень воды в ведре после того, как растает плавающий в нем лед?
Решать задачи не обязательно. Во всяком случае, просьба рассматривать их как материал о достижениях науки, что совсем нелишне для философов. Н.В.Невесенко
По преданию судья решил спор в пользу Эватла, но тут же порекомендовал Протагору подать новый аналогичный иск, где все аргументы были бы на стороне Протагора, поскольку Эватл, выигравший первую тяжбу, теперь обязан платить согласно уговору.
Я не буду приводить пространный анализ парадокса из Википедии, так как он валит с ног заявлением: "В действительности все достаточно просто". Но желающие могут ознакомиться.
Чтобы не брать на себя роль судьи над всеми, приведу далее заключение профессионала в логике А.А.Ивина, с которым полностью согласен. В его книге "Логика" сказано следующее. Судебный случай с Протагором привел к массе исследований парадокса на протяжении тысячелетий, начиная с трактата самого Протагора. Г.Лейбниц, сам юрист по образованию, также отнесся к этому спору всерьез. В своей докторской диссертации "Исследование о запутанных казусах в праве" он пытался доказать, что все случаи, даже самые запутанные, подобно тяжбе Протагора и Эватла, должны находить правильное разрешение на основе здравого смысла. По мысли Лейбница, суд должен отказать Протагору за несвоевременность предъявления иска...
Другие мыслители ссылались, в частности, на то, что решение суда должно иметь большую силу, чем частная договоренность двух лиц. На это можно ответить, что не будь этой договоренности, какой бы незначительной она ни казалась, не было бы ни суда, ни его решения. Ведь суд должен вынести свое решение по ее поводу и на ее основе.
Обращались также к общему принципу, что всякий труд, а значит, и труд Протагора, должен быть оплачен. Но Протагор, гарантируя высокий уровень обучения, сам отказывался принимать оплату в случае неудачи своего ученика в первом процессе.
Еще Лейбниц предлагает задним числом заменить формулировку договора и оговорить, что первым с участием Эватла судебным процессом, исход которого решит вопрос об оплате, не должен быть суд по иску Протагора.
Однако, ни здравый смысл, ни какие-то общие принципы, касающиеся социальных отношений, не способны разрешить спор. Договор, несмотря на его невинный внешний вид, внутренне противоречив. Он требует реализации логически невозможного положения: Эватл должен одновременно и уплатить за обучение, и вместе с тем не платить.
Итак, заключение А.А.Ивина и мое таково, что парадокс не может иметь решения, поскольку договор Протагора с Эватлом противоречив.
Немецкий математик Д.Гильберт (1862-1943), поставивший в свое время знаменитые "проблемы Гильберта", так отозвался о парадоксах: "...Состояние, в котором мы находимся сейчас в отношении парадоксов, на продолжительное время невыносимо. Подумайте: в математике - этом образце достоверности и истинности - образование понятий и ход умозаключений, как их всякий изучает, преподает и применяет, приводит к нелепости. Где же искать надежность и истинность, если даже само математическое мышление дает осечку?"
Наперекор Гильберту состояние все-таки оказалось выносимо, хоть дело не сдвинулось до сих пор. Однако, парадоксы, так сказать, локализованы. Они тлеют, но большой пожар зданию математики и всей науки не грозит.
Просто всем исследователям надо не забывать о неточности слов и рассуждений, приводить побольше аргументов и разъяснений. В этом плане не выигрывают философские трактаты, где сплошным потоком изрекаются божественные истины без всякой аргументации и связи с достижениями предшественников. Возможно, это и вправду прозрение свыше. Но таких прозрений за историю накопилось слишком много, и трудно разобраться, какие из них не есть плод воображения.
Принять ложь за истину совсем нетрудно. Приведу пару рассуждений из книги Д.Гусева "Краткий курс логики: Искусство правильного мышления".
Все планеты движутся, Юпитер - это планета, значит, Юпитер движется.
Движение вечно, хождение в школу - это движение, значит, хождение в школу вечно.
Все это могло бы показаться смешно, если бы не было так грустно. Выводы, аналогичные бесконечному хождению в школу, переполняют философскую да и всю научную литературу. Только абсурдность обоснования не сразу бросается в глаза, поскольку рассуждения подгоняют под придуманный заранее вывод, весьма похожий на правду. Так "доказывают" полуправду-полуложь, объявляя ее в итоге истиной.
Чтобы не заканчивать беспросветностью, приведу далее несколько примеров торжества логики в простых логических задачах. Если читатель не склонен к решению задач, то остальное можно не читать. Успехи в решении задач - это не показатель ума, интеллекта или чего-то подобного. Все тесты на эту тему однобоки. Однако ж, если мыслитель не тянет ни по одному показателю, то это тоже весьма показательно.
Две одинаковые бочки поровну наполнены одна водой, другая - спиртом. Ковшом перелили литр воды из первой бочки во вторую. Затем, перемешав содержимое второй бочки, литр смеси перелили обратно в первую. Спрашивается, чего больше содержание: спирта в первой бочке (где раньше была только вода), или воды во второй бочке (где раньше был только спирт)?
Обычно отвечают, что во второй бочке больше, потому что в первую возвращали не чистый спирт, а уже его смесь с водой. Однако, на самом деле это не так. В обоих бочках процент примеси одинаков. Даже при сотне подобных переливаний итог будет один: сколько из первой бочки ушло воды, ровно столько же пришло спирта.
На шахматную доску требуется уложить 31 кость домино (каждая кость занимает ровно две клетки доски) так, чтобы остались свободными только две угловые клетки доски на противоположных концах диагонали.
И что тут сложного? - удивляются зрители, - не стоит даже возиться.
Однако, кто решил повозиться, хоть и нескоро убеждается, что сделать это невозможно. Фокус в том, что указанные две угловые клетки доски будут одного цвета, а каждая кость всегда закрывает одну белую и одну черную клетку.
В центре круглого озерка находится собака, а по берегу бегает ее хозяин, который хочет поймать свою собаку, причем его скорость в 4 раза больше, чем плавает собака. Зато на суше собака бегает быстрее. Сможет ли хозяин поймать собаку?
Если собака просто поплывет к берегу в сторону, противоположную от той, где стоит хозяин, то, конечно, хозяин окажется у цели раньше. У него хоть и длиннее путь в три с лишним раза (это число пи), но его 4-кратное превосходство в скорости решает дело. Однако, умная собака поступит по-другому и сбежит от хозяина. Как? Никаких знаний для решения не требуется, только здравый смысл.
Заблудившийся в лесу грибник знает, однако, что отошел от просеки ровно на 1 км. Какова оптимальная стратегия выхода к просеке? Точное решение требует расчетов, хоть и элементарных. Но качественная картина - это удел исключительно здравого смысла.
Канал единичной ширины поворачивает под прямым углом. Ясно, что квадратный плот со стороной единица прекрасно пройдет поворот. Такой плот кажется максимально возможным из проходящих по каналу, поскольку проходит впритык. Но это не так. Есть гораздо большие цельные жесткие плоты, которым по силам то же самое. Наибольший плот имеет площадь в два с лишним раза больше упомянутого, и рассчитать его не просто. Но найти хотя бы один плот с площадью больше единицы нетрудно, идея такого плота не требует расчетов.
И еще. Изменится ли уровень воды в ведре после того, как растает плавающий в нем лед?
Решать задачи не обязательно. Во всяком случае, просьба рассматривать их как материал о достижениях науки, что совсем нелишне для философов. Н.В.Невесенко
Обсуждения Еще раз о логике
Считается очевидным, что в круге радиуса 1/4 с тем же центром собака может занять любое положение относительно хозяина, куда бы тот ни бегал. От себя, ссылаясь на механику, могу все же пояснить, что в этом круге угловая скорость собаки больше, чем у хозяина. Таким образом, собака может занять место на расстоянии 1/4 от центра озера в противоположную сторону от хозяина. Далее ей надо, не оглядываясь, дуть прямо к берегу. Путь хозяина к точке прибытия собаки больше 3 единиц, т.е. в 4 с лишним раза длиннее пути собаки: 3/4. Значит, 4-кратного превосходства в скорости хозяину не хватит и он останется с носом.
К задаче про грибника Максет уже дал принципиальное решение. Поэтому добавлю только результат математических изощрений, которые не требовались от читателей. Сначала грибник должен в любом направлении пройти по прямой 1.15 км (точнее, два поделить на корень из трех). Это уже больше 1 км. Так что если он напоролся на просеку, то, конечно, цель достигнута. А если не напоролся, то ему надо развернуться на 120 градусов (т.е. почти назад) и снова по прямой пройти 0.58 км (точнее, единица на корень из трех). Третьим этапом ему надо двигаться по окружности радиуса 1 км вокруг исходной точки и преодолеть 210 градусов этой окружности. Четвертым этапом - прямиком по касательной еще 1 км. Тогда 6.397 км пути гарантированно выведут к просеке. Это почти на 1 км короче, чем если сначала идти 1 км по прямой, а потом по окружности.
Плот можно собрать, например, так. В самый угол канала поместить круг единичного диаметра, потом вплотную к нему еще два таких же круга по обе стороны. Затем исходный круг убрать, а оставшиеся соединить жестким стержнем кратчайшим образом (а можно и по касательной, не задевающей угол). Получится площадь более 1.57 (пи пополам). Сразу видно, что этот плот можно еще сильно нарастить по одну сторону от стержня.
В задаче про лед в ведре правильный ответ уже дан Максетом. Теперь обоснование. Представим плавающий лед запакованным в растяжимый пузырь. Согласно Архимеду на него будет действовать выталкивающая сила, равная весу вытесненной жидкости, а поскольку лед плавает, то и равная весу льда. После таяния вес содержимого в пузыре не изменился, и пузырь по-прежнему плавает. Значит, не изменилась выталкивающая сила, а с ней согласно Архимеду и объем вытесненной пузырем воды.
Таким образом, уровень воды в ведре и соответственно объем воды, вытесненной любым плавающим телом, совершенно не зависит от превращений этого тела, лишь бы оно не пошло ко дну и не выпорхнуло из ведра. Потому что при всех таких превращениях остаются неизменными: вес плавающего тела, выталкивающая сила, а значит, и объем вытесненной жидкости.
Не удержался еще от трех шедевров логики.
1. У трех путников две лошади. На лошади можно ехать только по одному. Как всем троим вместе быстрее всего оказаться у цели?
2. Искусственный спутник делает за сутки 10 оборотов вокруг Земли, а надо 12. Затормозить или разогнаться?
3. Разрезать тупоугольный треугольник на остроугольные. Н.В.Невесенко
Я не собираюсь испытывать Ваше терпение и, наверное, сообщу решения завтра. А пока все-таки оставлю желающим возможность подумать. Н.В.Невесенко
Насчет собаки могу сказать, что если хозяин побежит в противоположном направлении к направлению спирали, то он будет удаляться от собаки.
Насчет грибника, я кажется понял в чем логика: грибнику надо пройти прямо 1км. и 1 м. в любом направлении и потом двигаться в любом направлении по окружности с центром в исходной точке и выйти на просеку. Только на практике в лесу этот метод вряд ли применим, деревья мешают.
Насчет плота думаю, что оптимальный вариант - это плот в форме дуги с закругленными краями, не знаю, как называется такая фигура. Ширину плота (дугообразной фигуры) можно взять примерно 0,5-0,6ед., а длину (дуги по средней линии) примерно 2,5 а может даже 3ед.
Насчет льда я затрудняюсь. Как известно, тела при охлаждении уменьшаются в объеме, но вода при замерзании почему то расширяется. А лед в ведре наверное частично испарится и поэтому уровень воды в ведре возможно уменьшится. В общем не знаю точно.
При движении по спирали собака действительно сможет сбежать от своего хозяина. Поэтому в принципе ответ правильный. Остается вопрос о существовании такой спирали. Ее нетрудно найти математику, но задача на логику, где не требуется расчетов. А лишь несколько убедительных слов, где слово "спираль" лишнее.
Потом, есть один важный нюанс: в задаче не предполагается, что хозяин глупее собаки и все время будет бежать только в одном направлении.
Насчет ветра в просеке - это новая для меня оригинальная мысль. Все же сомневаюсь, что на расстоянии 1 км от просеки можно услышать ветер именно в ней. Задача - геометрическая: в какую сторону пойти и как менять направления движения, чтобы пройти как можно меньшее расстояние. Предполагается, что даже в одном метре от просеки грибник еще не может ее видеть или слышать.
Предположение о форме плота верное. Желательно еще что-нибудь поконкретнее. Пусть это будет далеко не лучший плот, но хоть чуточку больше единичной площади.
Про уровень воды я дам ответ позже, чтобы сохранить интригу для других возможных исследователей. Но если Вы дадите обоснование Вашего ответа, то и сами сможете закрыть этот вопрос.
В Интернете есть капитальное решение про плот, но оно интересно скорее математикам. На уровне философии важнее принципиальная возможность превзойти единичную площадь. По другим задачам вряд ли можно найти готовые решения. Но если кто найдет, то просьба сообщать. Даже для очень старых задач нередко обнаруживаются новые оригинальные подходы. Н.В.Невесенко
> Однако, умная собака поступит по-другому и сбежит от хозяина. Как?
Думаю, что собака должна плыть по спирали.
> Заблудившийся в лесу грибник знает, однако, что отошел от просеки ровно на 1 км. Какова оптимальная стратегия выхода к просеке?
Думаю, что заблудившийся грибник, который не знает в какой стороне просека, должен ориентироваться на звук, потому, что по просеке гуляет ветер.
> Но найти хотя бы один плот с площадью больше единицы нетрудно, идея такого плота не требует расчетов.
Думаю, что плот должен быть "Г" образной формы с закругленными краями.
> Изменится ли уровень воды в ведре после того, как растает плавающий в нем лед?
Думаю, что не изменится.
Потом, если иметь ввиду не конкретного ученика, а всех учащихся, то хождения в школу пока ничем не ограничены.
На всякий случай поясню всем читателям, что Гусев специально привел для сравнения одно утверждение верное, а другое заведомо неверное, хотя конструкция у них вроде бы одинаковая. Н.В.Невесенко